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\setCJKmainfont[BoldFont=SimHei,ItalicFont = SimSun]{SimSun}

\newtheorem{definition}{Definition}[section]%定义
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]%定理
\newtheorem{axiom}{Axiom}[section]%公理
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]%引理
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]%命题
\newtheorem{corollary}{Corollary}[section]%推论
\newtheorem{remark}{Remark}[section]%注


\title{\heiti\zihao{2} 复变函数-第1章}
\author{20373963-樊若宸}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\section{求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模以及辐角}

(1)$\dfrac{1}{3+2i}$
$$
\begin{aligned}
    \dfrac{1}{3+2i}&=\dfrac{3-2i}{(3+2i)(3-2i)}\\
    &=\dfrac{3-2i}{13}\\
    Re(z)&=\dfrac{3}{13}\\
    Im(z)&=\dfrac{-2}{13}\\
    \bar{z}&=\dfrac{3+2i}{13}\\
    |z|&=\dfrac{\sqrt{13}}{13}\\
    Arg(z)&=2k\pi+\arctan -\dfrac{2}{3}
\end{aligned}
$$


(2)$\dfrac{1-2i}{3-4i}-\dfrac{2-i}{5i}$

\textbf{解}\quad
$$
\begin{aligned}
    \dfrac{1-2i}{3-4i}-\dfrac{2-i}{5i}&=\dfrac{(1-2i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}-\dfrac{-2i-1}{5}\\
    &=\dfrac{11-2i}{25}+\dfrac{10i+5}{25}\\
    &=\dfrac{16+8i}{25}\\
    Re(z)&=\dfrac{16}{25}\\
    Im(z)&=\dfrac{8}{25}\\
    \bar{z}&=\dfrac{16-8i}{25}\\
    |z|&=\dfrac{8\sqrt{5}}{25}\\
    Arg(z)&=2k\pi+\arctan \dfrac{1}{2}
\end{aligned}
$$

(3)
\textbf{解}\quad
$$
\begin{aligned}
    \dfrac{5i}{1+2i}&=\dfrac{5i(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}\\
    &=2+i\\
    Re(z)&=2\\
    Im(z)&=1\\
    \bar{z}&=2-i\\
    |z|&=\sqrt{5}\\
    Arg(z)&=2k\pi+\arctan \dfrac{1}{2}
\end{aligned}
$$

(4)$i^8-4i^21+i$

\textbf{解}\quad
$$
\begin{aligned}
    i^8-4i^21+i&=1-4i+i=1-3i\\
    Re(z)&=1\\
    Im(z)&=-3\\
    \bar{z}&=1+3i\\
    |z|&=\sqrt{10}\\
    Arg(z)&=2k\pi+\arctan -3
\end{aligned}
$$

\section{若复数$z_1,z_2$满足$|z_1|<1,|z_2|<1$,试证$\left|\dfrac{z_1-z_2}{1-\bar{z_1}z_2}\right|<1$}
\begin{proof}
    只需证$\left|\dfrac{z_1-z_2}{1-\bar{z_1}z_2}\right|^2<1$,即
    $$
    |z_1-z_2|^2<|1-\bar{z_1}z_2|
    $$
    即
    $$
    \begin{aligned}
        (z_1-z_2)(\bar{z_1}-\bar{z_2})&<(1-\bar{z_1}z_2)(1-z_1\bar{z_2})\\
        z_1\bar{z_1}+z_2\bar{z_2}<1+z_1\bar{z_1}z_2\bar{z_2}\\
        0&<(1-z_1\bar{z_2})(1-z_2\bar{z_2})\\
        0&<(1-|z_1|^2)(1-|z_2|^2)
    \end{aligned}
    $$
    显然.
\end{proof}

\section{将下列复数化为三角表示式和指数表示式}

(1)$-1$

\textbf{解}\quad
$-1=\cos-\pi + i\sin -\pi=\mathrm{e}^{-i\pi}$

(2)$\dfrac{1+i}{1-i}$
$\dfrac{1+i}{1-i}=\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}=\mathrm{e}^{i\pi/2}$


(3)$-1+i\sqrt{3}$

\textbf{解}\quad
$$
-1+i\sqrt{3}=2\left(\cos \dfrac{2}{3}\pi + i\sin \dfrac{2}{3}\right)=2\mathrm{e}^{2\pi/3i}
$$

(4)$\dfrac{(\cos \psi+i\sin\psi)^2}{(\cos 3\psi-i\sin 3\psi)^3}$

\textbf{解}\quad
$$
\begin{aligned}
    \dfrac{(\cos \psi+i\sin\psi)^2}{(\cos 3\psi-i\sin 3\psi)^3}&=\cos 11\psi +i\sin 11\psi = \mathrm{e}^{11\psi i}
\end{aligned}
$$
\begin{remark}
    \color{blue}
    可以使用辐角的性质进行计算.分子分母的模长都是$1$.在解决高次方的复数问题时可以使用取模和计算辐角的方式展开思路.
\end{remark}

\section{求$-1+2i$,$3+4i$的球面表示}
\textbf{解:}\quad

$-1+2i$的球面坐标为$\left(\dfrac{2Re(z)}{|z|^2+1},\dfrac{2Im(z)}{|z|^2+1},\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\right)=\left(-\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right)$

$3+4i$的球面坐标为$\left(\dfrac{2Re(z)}{|z|^2+1},\dfrac{2Im(z)}{|z|^2+1},\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\right)=\left(\dfrac{3}{13},\dfrac{4}{13},\dfrac{12}{13}\right)$


\section{证明:如果$z$是实系数方程$$a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_n=0$$的根,则$\bar{z}$也是它的根}
\begin{proof}
    已知
    $$
    a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_n=0
    $$
    从而有
    $$
    \begin{aligned}
        \overline{a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z+a_n}&=a_0\overline{z}^n+a_1\overline{z}^{n-1}+\cdots+a_{n-1}\overline{z}+a_n=0
    \end{aligned}
    $$
    从而$\bar{z}$是方程的根.
\end{proof}

\section{求下列各式的值}
(1)$\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)^3$

\textbf{解}\quad
$$
\begin{aligned}
    \left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\right)^3&=\mathrm{e}^{3\cdot \frac{1}{3}\pi i}\\
    &=\mathrm{e}^{\pi i}=-1
\end{aligned}
$$

(2)$\sqrt[3]{1-i}$
$$
\begin{aligned}
    \sqrt[3]{1-i}&=\sqrt[3]{\sqrt{2}\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{4}+2k\pi i}}\\
    &=\sqrt[6]{2}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{12}+\frac{2k}{3}\pi i}
\end{aligned}
$$
其中$k=0,1,2$

\section{设 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 三点适合条件: $z_{1}+z_{2}+z_{3}=0$ 以及 $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1$, 试证 明 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 是一个内接于单位圆周 $|z|=1$ 的正三角形的顶点.}
\begin{proof}
    由条件可知三个复数都在$|z|=1$上,只需证明这三个复数构成等边三角形即可.只需证明三条边相等即可.
    $|z_1-z_2|^2=(z_1-z_2)(\bar{z_1}-\bar{z_2})=|z_1|^2+|z_2|^2-z_1\bar{z_2}-\bar{z_1}z_2$

    又因为$|z_1+z_2|^2=(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2})=|z_1|^2+|z_2|^2+z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2=1$,从而$z_1\bar{z_2}+\bar{z_1}z_2=-1$,从而$|z_1-z_2|^2=3$.可见对于$z_1,z_2,z_3$,边长轮换对称,都是$\sqrt{3}$,所以是等边三角形.
\end{proof}

\section{证明:复平面上的直线方程可以写为$$\alpha \bar{z}+\bar{\alpha} z=c$$其中, $\alpha$ 是非零复常数, $c$ 是实常数.}

\begin{proof}
    直线可表示为$ax+by+c=0$.从而可以代换:
    $$
    x=\dfrac{z+\bar{z}}{2},y=\dfrac{z-\bar{z}}{2i}
    $$
    从而方程化为
    $$
        a\dfrac{z+\bar{z}}{2}+b\dfrac{z-\bar{z}}{2i}+c=0
    $$
    即
    $$
    \dfrac{a-bi}{2}z+\dfrac{a+bi}{2}\bar{z}+c=0
    $$
    显然.
\end{proof}

\section{证明:复平面上的圆周方程可以写为$$z \bar{z}+\alpha \bar{z}+\bar{\alpha} z+c=0$$其中, $\alpha$ 是非零复常数, $c$ 是实常数.}
\begin{proof}
    圆周可表示为$(z-\beta)(\bar{z}-\bar{\beta})=R^2$,$R$是实数,即
    $$
    z\bar{z}-\beta\bar{z}-\bar{\beta}z+\beta\bar{\beta}-R^2=0
    $$
    令$\alpha=-\beta$,由于$\beta\bar{\beta}$是实数,从而显然.
\end{proof}

\section{下列关系式表示的点 $z$ 的轨迹是什么? 是不是区域或闭区域?若是,指明 它是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.}
(1) $|z-\mathrm{i}|=|z+\mathrm{i}|$;

\textbf{解:}\quad
$$
\begin{aligned}
    (z-i)(\bar{z}+i)&=(z+i)(\bar{z}-i)\\
    |z|^2-i\bar{z}+iz+1&=|z|^2-iz+i\bar{z}+1\\
    z-\bar{z}&=0\\
    Im(z)&=0
\end{aligned}
$$

在欧式平面中表示$y=0$这条直线.由于对任意$z\in E$,$U(z,\delta)$中总包含$z'\notin E$,故不是区域.

(2) $|z-1|<4|z+1|$;

\textbf{解:}\quad
在几何上可以看出其表示的是一个阿波罗尼奥斯圆的外部.下面从代数角度进行分析.

令$z=a+bi$,则有
$$
\begin{aligned}
    (z-1)(\bar{z}-1)&<16(z+1)(\bar{z}+1)\\
    |z|^2-z-\bar{z}+1&<16|z|^2+16z+16\bar{z}+16\\
    0&<15(a^2+b^2)+34a+15\\
    \dfrac{64}{225}&<\left(a+\dfrac{17}{15}\right)+b^2
\end{aligned}
$$

表示的是欧式平面上以$\left(-\dfrac{17}{15},0\right)$,以$\dfrac{8}{15}$为半径的圆的外测.显然对任意一点都能取到
\par
$U(z,\delta)\in E$.从而其为开集.是复连通的区域.

(3) $|z-2|+|z+2| \leqslant 6$;

从几何上来看是一个以$2a=6$,$(\pm 2,0)$为焦点的椭圆内部,下从代数证明.
$$
\begin{aligned}
    (|z-2|+|z+2|)^2&<36\\
    (z-2)(\bar{z}-2)+(z+2)(\bar{z}+2)+2|z-2||z+2|&\leqslant 36\\
    2|z|^2+8+2\sqrt{(z-2)(\bar{z}-2)(z+2)(\bar{z}+2)}&\leqslant 36\\
    |z|^2+\sqrt{(z^2-4)(\bar{z^2}+4)}&<14\\
    |z^2-4|&\leqslant 14-|z|^2\\
    (z^2-4)(\bar{z^2}-4)&<196-28|z|^2+|z|^4\\
    28|z|^2-8Re(z^2)&\leqslant 180\\
    20a^2+36b^2&\leqslant 180
\end{aligned}
$$

表示的是欧氏平面上的椭圆$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1$的内部及边界,是一个有界单连通的闭集.

(4) $|z-2|-|z+2|>1$

同上理,可从几何角度看出其为双曲线$\dfrac{x^2}{1/4}-\dfrac{y^2}{15/4}=1$左侧内部,其为无界单连通区域.

(5) $\overline{z}z-(2+\mathrm{i}) z-(2-\mathrm{i}) \bar{z}>4$.

$$
\begin{aligned}
    (z-(2-i))(\bar{z}-(2+i))&>9\\
    |z-(2-i)|&>3
\end{aligned}
$$

从而可见其表示的是与$2-i$距离为$3$的圆的外侧,显然为复连通无界开区域.
\end{document}